1312. 让字符串成为回文串的最少插入次数

给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。

请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。

「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

示例 1：

输入：s = "zzazz"
输出：0
解释：字符串 "zzazz" 已经是回文串了，所以不需要做任何插入操作。

示例 2：

输入：s = "mbadm"
输出：2
解释：字符串可变为 "mbdadbm" 或者 "mdbabdm" 。

示例 3：

输入：s = "leetcode"
输出：5
解释：插入 5 个字符后字符串变为 "leetcodocteel" 。

提示：

• 1 <= s.length <= 500
• s 中所有字符都是小写字母。

动态规划

二维dp数组-倒序遍历，dp[i][j] 表示把字符串 s[i..j] 变成回文串的最少插入次数

class Solution {
    int minInsertions(String s) {
        int n = s.length();
        // dp[i][j] 表示把字符串 s[i..j] 变成回文串的最少插入次数
        // dp 数组全部初始化为 0，因为dp[i][i]是回文串，不需要插入字符。
        int[][] dp = new int[n][n];
        
        // 倒序遍历i，正序遍历j以保证正确的状态转移，这是从状态转移方程中看出来的。
        // 对角线上面的元素，从倒数第二行开始。
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                // 状态转移方程
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        
        // 整个 s 的最少插入次数
        return dp[0][n - 1];
    }
}

时间复杂度和空间复杂度都是O(n^2)。

可以用滚动数组进行空间压缩，把空间复杂度压缩成O(n)。

滚动更新

class Solution {
    int minInsertions(String s) {
        int n = s.length();
        // dp 数组用于存储当前层的状态
        int[] dp = new int[n];
        
        // 反着遍历保证正确的状态转移
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            int prev = 0;  // 用于存储 dp[i + 1][j - 1]，初始化为dp[i][i]，即0。
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int temp = dp[j];  // 暂存上一轮计算出的 dp[j] 的值，即dp[i+1][j]
                // 状态转移方程，下面要计算本轮的dp[j]，即dp[i][j]。
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[j] = prev; // dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
                } else {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + 1; // dp[i][j] = Math.min(dp[i+1][j], dp[i][j-1])+1
                }
                prev = temp;  // 更新 prev 为 dp[i+1][j]，给下一轮j循环使用。prev在其所在的行中前进一步。
            }
        }
        
        // 整个 s 的最少插入次数
        return dp[n - 1];
    }
}

动态规划

复用最长回文子序列，dp[i][j]表示[i...j]子数组中最长回文子序列的长度

// 计算把 s 变成回文串的最少插入次数
public int minInsertions(String s) {
    return s.length() - longestPalindromeSubseq(s);
}

// 计算 s 中的最长回文子序列长度
int longestPalindromeSubseq(String s) {
    int n = s.length();
    // dp 数组全部初始化为 0
    int[][] dp = new int[n][n];
    
    // base case
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][i] = 1;
    }
    // 反着遍历保证正确的状态转移
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            // 状态转移方程
            if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    
    // 整个 s 的最长回文子串长度
    return dp[0][n - 1];
}

Good-动态规划-复用原字符串和反转后的字符串的最长公共子序列，dp[i][j] 表示 s[0..i-1] 和 t[0..j-1] 的最长公共子序列长度

class Solution {
    public int minInsertions(String s) {
        int n = s.length();
        // 反转字符串 s 得到字符串 t。重点。
        String t = new StringBuilder(s).reverse().toString();
        // dp[i][j] 表示 s[0..i-1] 和 t[0..j-1] 的最长公共子序列长度
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        
        // 填充 dp 表
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                // 如果当前字符不相等，选择删除 s[i-1] 或 t[j-1]
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                // 如果当前字符相等，更新 dp[i][j]
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    // 注意要取最大值，因为是子序列而不是子串
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        
        // 最少插入次数 = 原字符串长度 - 最长公共子序列长度
        return n - dp[n][n];
    }
}

时间和空间复杂度都是 O(n^2)。