518. 零钱兑换 II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

动态规划

dp[i][j]表示使用前 i 种硬币凑成金额 j 的方法数，遍历每种硬币，然后遍历每个金额， 如果当前金额 j 减去第 i 种硬币的面值大于等于0，则 p[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]]， 如果当前金额 j 减去第 i 种硬币的面值小于0，则 dp[i][j] 只能等于 dp[i - 1][j]。 滚动更新版本是dp[j]=dp[j]，默认就成立，所以可以把这个else省略，即让j从coins[i-1]开始遍历。 因为要计算所有组合，所以需要限制硬币种类数以递进计算，所以需要变量 i

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int n = coins.length; // 获取硬币的种类数
        // `dp[i][j]`表示使用前 i 种硬币凑成金额 j 的方法数，注意不是最少硬币数。
        int[][] dp = new int[n + 1][amount + 1];
        
        // base case: 如果金额为0，则只有一种方式（即不选择任何硬币）。重点。
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            dp[i][0] = 1;

        // 遍历每种硬币
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 遍历每个金额
            for (int j = 1; j <= amount; j++) {
                if (j - coins[i - 1] >= 0) {
                    // dp[i - 1][j] 表示不使用当前硬币的组合数
                    // dp[i][j - coins[i - 1]] 表示使用当前硬币的组合数
                    // 重点是dp[i][j - coins[i - 1]]而不是dp[i - 1][j - coins[i - 1]]，因为每种硬币的个数无限。
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coins[i - 1]];
                } else {
                    // 如果当前金额 j 减去第 i 种硬币的面值小于0，则 dp[i][j] 只能等于 dp[i - 1][j]
                    // 滚动更新版本是dp[j]=dp[j]，默认就成立，所以可以把这个else省略，即让j从coins[i-1]开始遍历。
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        
        return dp[n][amount]; // 返回组合数
    }
}

动态规划-空间压缩，先遍历硬币，再遍历金额

dp[i] 表示金额为 i 的时候的组合数，遍历每一个硬币，遍历金额，从 coin 到 amount，当前金额 i 的组合数等于之前金额 (i - coin) 的组合数加上当前组合数

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        // dp[i] 表示金额为 i 的时候的组合数
        int[] dp = new int[amount + 1];
        // 初始化 dp[0] 为 1，因为金额为 0 的时候只有一种情况，就是什么也不选。重点。
        dp[0] = 1;
        
        // 遍历每一个硬币
        for (int coin : coins) {
            // 遍历金额，从 coin 到 amount
            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
                // 状态转移方程：当前金额 i 的组合数等于之前金额 (i - coin) 的组合数dp[i-coin]（选该硬币）加上当前组合数dp[i]（不选该硬币）。
                // 重点，不是加1！
                dp[i] += dp[i - coin];
            }
        }
        
        // 返回组成金额为 amount 的组合数
        return dp[amount];
    }
}