714. 买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

提示：

• 1 <= prices.length <= 5 * 104
• 1 <= prices[i] < 5 * 104
• 0 <= fee < 5 * 104

不限交易次数

动态规划-数组递推-

类似123,188，买入的时候还需要再付一个手续费。创建二维dp数组，初始化第一天的数据，遍历迭代计算，返回最后一天不持有股票的数据。因为不限交易次数，所以不需要为交易次数提供一个维度。dp数组存的是所有可能操作后的最大利润，不是指具体的某一次操作。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;  // 获取价格数组的长度

        // 定义动态规划数组
        // dp[i][0] 表示第 i 天结束时不持有股票的最大利润
        // dp[i][1] 表示第 i 天结束时持有股票的最大利润
        int[][] dp = new int[n][2];

        // 遍历每一天
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i - 1 == -1) {
                // base case 1: i=0，处理第一天的情况
                dp[i][0] = 0;  // 第一天不持有股票的利润为0
                dp[i][1] = -prices[i] - fee;  // 第一天持有股票的利润为 -prices[i] - fee。重点。
                // 解释：
                // dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee)
                //          = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i] - fee)
                //          = max(-inf, 0 - prices[i] - fee)
                //          = -prices[i] - fee
                continue;
            }

            // 计算第 i 天不持有股票的最大利润
            // 要么保持前一天的不持有状态，要么前一天持有今天卖出
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            // 计算第 i 天持有股票的最大利润
            // 要么保持前一天的持有状态，要么前一天不持有今天买入（并支付手续费）
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
        }

        // 返回最后一天不持有股票的最大利润
        return dp[n - 1][0];
    }
}

• 时间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组的长度。一共有 $2 n$ 个状态，每次状态转移的时间复杂度为 $O(1)$ ，因此时间复杂度为 $O(2 n)=O(n)$ 。
• 空间复杂度： $O(n)$ ，我们需要开辟 $O(n)$ 空间存储动态规划中的所有状态。

滚动更新

因为只依赖于前一天的利润，所以可以用两个变量，sell和buy，指前一天持有和不持有股票的利润

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length; // 获取价格数组的长度

        // sell 和 buy 分别存储当前不持有股票和持有股票时的最大利润
        int sell = 0; // 不持有股票的初始利润为0
        int buy = -prices[0] - fee; // 持有股票的初始利润为第一天买入股票的成本

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            // 更新不持有股票的最大利润
            // 选取之前不持有股票的利润和当前卖出股票（持有股票利润 + 当前价格 - 手续费）的较大值
            sell = Math.max(sell, buy + prices[i]);
            // 更新持有股票的最大利润
            // 选取之前持有股票的利润和当前买入股票（不持有股票的利润 - 当前价格）的较大值
            buy = Math.max(buy, sell - prices[i] - fee);
        }

        return sell; // 返回最终不持有股票的最大利润，即最大收益
    }
}

• 时间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组的长度。一共有 $2 n$ 个状态，每次状态转移的时间复杂度为 $O(1)$ ，因此时间复杂度为 $O(2 n)=O(n)$ 。
• 空间复杂度： $O(n)$ 或 $O(1)$ ，取决于是否使用数组存储所有的状态。

因为不限交易次数，所以可以贪心

初始化买入成本，包括购买当天的价格和手续费，初始化总利润为0，遍历价格数组，判断是否存在更低成本的买入机会，如果当前价格加手续费仍然低于之前的购买成本，更新购买成本，否则执行卖出操作，更新总利润，并更新购买成本为当前价格。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;  // 获取价格数组的长度
        int buy = prices[0] + fee;  // 初始化买入成本，包括购买当天的价格和手续费
        int profit = 0;  // 初始化总利润为0

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            // 判断是否存在更低成本的买入机会
            if (prices[i] + fee < buy) {
                // 如果当前价格加手续费仍然低于之前的购买成本，更新购买成本
                buy = prices[i] + fee;
            } else if (prices[i] > buy) {
                // 如果当前价格高于购买成本，执行卖出操作
                profit += prices[i] - buy;  // 增加总利润，当前价格减去购买成本
                // 更新购买成本为当前价格，这是为了处理多次买卖的情况。
                // 注意不能带手续费，因为下次如果还能卖，连续两次卖出就是一次卖出，只需要一次手续费。
                buy = prices[i];
            }
        }
        return profit;  // 返回计算的总利润
    }
}

• 时间复杂度： $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组的长度。
• 空间复杂度： $O(1)$ 。