322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3 
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
• 0 <= amount <= 10^4

动态规划，数组递推

dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数，用滚动更新使金额从硬币金额开始遍历。

先遍历硬币，再遍历金额。

public class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // dp 数组，dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数
        int[] dp = new int[amount + 1];
        // 最大值设为 amount + 1，用于初始化 dp 数组。设为 amount + 1 是因为
        // 不可能存在比 amount 更大的最小硬币数，所以初始化为 amount + 1 相当于正无穷。不要用Integer.MAX，因为那样后面+1会溢出。
        int max = amount + 1;
        // 初始化 dp 数组，所有值都设为 max，表示初始化为正无穷
        Arrays.fill(dp, max);
        
        // base case：凑成金额 0 需要 0 枚硬币。重点。
        dp[0] = 0;
        // 遍历所有硬币，离散
        for (int coin : coins) {
            // 遍历所有金额从 coin 到 amount，连续
            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
                // 状态转移方程：dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数
                // 选择使用当前硬币 coin，则 dp[i] = dp[i - coin] + 1
                // 比较当前值 dp[i] 和使用当前硬币后的值，取较小值。注意是加一，因为我们求的是硬币数而不是组合数。
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }
        
        // 如果 dp[amount] 仍然是初始化的值，说明无法凑成该金额，返回 -1
        // 否则，返回 dp[amount]
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}

• 时间复杂度：O(n * amount)，其中 n 是硬币的种类数，amount 是目标金额。
• 空间复杂度：O(amount)，用于存储动态规划数组。

先遍历金额，再遍历金币。

public class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // dp 数组，dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数
        int[] dp = new int[amount + 1];
        // 最大值设为 amount + 1，用于初始化 dp 数组。设为 amount + 1 是因为
        // 不可能存在比 amount 更大的最小硬币数，所以初始化为 amount + 1 相当于正无穷。
        int max = amount + 1;
        // 初始化 dp 数组，所有值都设为 max，表示初始化为正无穷
        Arrays.fill(dp, max);
        
        // base case：凑成金额 0 需要 0 枚硬币
        dp[0] = 0;
        // 遍历所有金额从 1 到 amount
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            // 遍历所有硬币
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                // 如果当前硬币的面值小于或等于当前金额 i，表示可以使用该硬币
                if (coins[j] <= i) {
                    // 状态转移方程：dp[i] 表示凑成金额 i 所需的最少硬币数
                    // 选择使用当前硬币 coins[j]，则 dp[i] = dp[i - coins[j]] + 1
                    // 比较当前值 dp[i] 和使用当前硬币后的值，取较小值
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
                }
            }
        }
        
        // 如果 dp[amount] 仍然是初始化的值，说明无法凑成该金额，返回 -1
        // 否则，返回 dp[amount]
        return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
    }
}