279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。 例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 10^4

动态规划-数组递推-转为背包问题

外层循环容量，内层循环物品。

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        // 定义 dp 数组，其中 dp[i] 表示和为 i 的平方数的最小数量
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化 dp 数组，所有值设为 Integer.MAX_VALUE（表示无穷大）
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        // base case: 和为 0 的最小平方数数量为 0
        dp[0] = 0;
        
        // 遍历从 1 到 n 的每个整数。先遍历容量，再遍历物品，和组合总和IV不一样，那道题说不同的顺序算不同的组合，所以一定得在内循环中遍历物品，
        // 这样才能保证物品的顺序是自由的。
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 遍历平方小于等于i的所有数 j
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                // 状态转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                // 即：和为 i 的最小平方数数量 = min(和为 i 的最小平方数数量, 和为 i - j * j 的最小平方数数量 + 1)，1代表选择了j*j
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        // 返回和为 n 的最小平方数数量
        return dp[n];
    }
}

• 时间复杂度：$O(N*\sqrt{N})$。
• 空间复杂度：$O(N)$。

动态规划-数组递推-外层循环物品，内层循环容量。

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        // 创建一个列表来存储所有小于等于 n 的平方数
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
        // 生成所有小于等于 n 的平方数，并加入到列表中
        for (int i = 1; i * i <= n; ++i) {
            nums.add(i * i);  // 例如，1, 4, 9, 16, ..., 等等
        }
        
        // 创建 dp 数组，dp[i] 表示凑成和为 i 的最少平方数数量
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化 dp 数组的所有元素为 n + 1，表示一个不可能的较大值（无穷大）
        Arrays.fill(dp, n + 1);
        // base case: 和为 0 时的最少平方数数量为 0
        dp[0] = 0;
        
        // 遍历所有平方数。外层循环物品，不能直接用i，需要用nums.get获取物品的容量。i指第i个平方数
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            // 遍历从当前平方数到 n 的所有值，更新 dp 数组
            for (int j = nums.get(i); j <= n; ++j) {
                // 状态转移方程：dp[j] = min(dp[j], dp[j - nums.get(i)] + 1)
                // 即：和为 j 的最少平方数数量 = min(和为 j 的最少平方数数量, 和为 (j - 当前平方数) 的最少平方数数量 + 1)
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - nums.get(i)] + 1);
            }
        }
        
        // 返回 dp[n]，即和为 n 的最少平方数数量
        return dp[n];
    }
}