63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

动态规划-函数递归+备忘录

从 grid[0][0] 出发到达 grid[i][j] 的路径条数为 dp(grid, i, j)，数组越界或者遇到阻碍，返回0。

选择是连接两个状态的桥梁。

// 第一步：自顶向下带备忘录的递归
class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        memo = new int[m][n];
        return dp(obstacleGrid, m - 1, n - 1);
    }

    // 备忘录
    int[][] memo;

    // 定义：从 grid[0][0] 出发到达 grid[i][j] 的路径条数为 dp(grid, i, j)
    int dp(int[][] grid, int i, int j) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        // base case，失败条件
        if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || grid[i][j] == 1) {
            // 数组越界或者遇到阻碍，返回0
            return 0;
        }
        // 结束条件，也是成功条件
        if (i == 0 && j == 0) {
            // 起点到起点的路径条数就是 1
            return 1;
        }
        if (memo[i][j] > 0) {
            // 避免冗余计算
            return memo[i][j];
        }
        
        // 状态转移方程：
        // 到达 grid[i][j] 的路径条数等于
        // 到达 grid[i-1][j] 的路径条数加上到达 grid[i][j-1] 的路径条数
        int left = dp(grid, i, j - 1);
        int upper = dp(grid, i - 1, j);
        int res = left + upper;
        
        // 存储备忘录
        memo[i][j] = res;
        return res;
    }
}

动态规划，递推

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;

        // 定义：到达 obstacleGrid[i][j] 的路径条数为 dp[i][j]
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 初始化起点，如果起点有障碍物，路径为 0，否则为 1
        dp[0][0] = obstacleGrid[0][0] == 1 ? 0 : 1;
        // 初始化第一列，处理障碍物
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = (obstacleGrid[i][0] == 1 || dp[i - 1][0] == 0) ? 0 : 1;
        }
        // 初始化第一行，处理障碍物
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = (obstacleGrid[0][j] == 1 || dp[0][j - 1] == 0) ? 0 : 1;
        }

        // 遍历剩下的格子
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                // 如果当前位置是障碍物，路径条数为 0
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    dp[i][j] = 0;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }

        // 返回到达 obstacleGrid[m-1][n-1] 的路径数量
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

• 时间复杂度：O(M * N)，因为我们需要遍历整个网格。
• 空间复杂度：O(M * N)，因为我们需要一个二维数组来存储每个格子的路径数量。

动态规划-数组迭代+空间压缩

i 对应的是行，j 对应的是列。dp[j-1] 是本行的前一个元素，dp[j] 是上一行的本列的元素

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        // 根据二维 dp 数组优化为一维 dp 数组
        int[] dp = new int[n + 1];

        for (int i = 1; i <= m; i++) { // i 对应的是行，j对应的是列。dp[j-1]是本行的前一个元素，dp[j]是上一行的本列的元素
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (i == 1 && j == 1) { // 处理左上角元素。重点。
                    dp[1] = obstacleGrid[0][0] == 1 ? 0 : 1;
                    // 跳过 base case
                    continue;
                }
                // 处理障碍物
                if (obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 1) {
                    // 跳过障碍物的格子，注意要把dp[j]置为0
                    dp[j] = 0;
                    continue;
                }
                
                dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
            }
        }
        
        // 返回到达 obstacleGrid[m-1][n-1] 的路径数量
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度：O(M * N)

空间复杂度：O(M)