45. 跳跃游戏 II

给定一个长度为 n 的 0 索引整数数组 nums。初始位置为 nums[0]。

每个元素 nums[i] 表示从索引 i 向前跳转的最大长度。换句话说，如果你在 nums[i] 处，你可以跳转到任意 nums[i + j] 处:

• 0 <= j <= nums[i]
• i + j < n

返回到达 nums[n - 1] 的最小跳跃次数。生成的测试用例可以到达 nums[n - 1]。

示例 1:

输入: nums = [2,3,1,1,4]
输出: 2
解释: 跳到最后一个位置的最小跳跃数是 2。
     从下标为 0 跳到下标为 1 的位置，跳 1 步，然后跳 3 步到达数组的最后一个位置。

示例 2:

输入: nums = [2,3,0,1,4]
输出: 2

提示:

• 1 <= nums.length <= 10^4
• 0 <= nums[i] <= 1000

非线性动态规划

固定起点，根据当前数据计算未来数据。

正序遍历索引，正序遍历步数，dp[i] 表示从第 0 个索引跳到第 i 个索引的最小跳跃次数-42ms

因为从dp[i]可以导出dp[i+1]...很多个状态，同一个状态dp[i+j]也可能依赖多个初始状态，所以我们不妨称之为非线性动态规划，需要取最值。

两层for循环，先确定索引，再确定步数。

class Solution {
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // dp 数组，其中 dp[i] 表示从第 0 个索引跳到第 i 个索引的最小跳跃次数
        int[] dp = new int[n];
        // 初始化为一个较大的值，表示初始状态尚未计算。因为要取最小值。
        Arrays.fill(dp, n);
        // 从第 0 个索引到第 0 个索引不需要跳跃
        dp[0] = 0;

        // 逐步计算从第 0 个索引跳到第 i 个索引的最小跳跃次数，i代表索引
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // j代表索引i处能跳的步数，最多是nums[i]
            for (int j = 1; j <= nums[i] && i + j < n; j++) {
                dp[i + j] = Math.min(dp[i + j], dp[i] + 1);
            }
        }

        // 返回跳到最后一个索引的最小跳跃次数
        // 题目说生成的测试用例可以到达 `nums[n - 1]`，因此dp[n-1]不会等于n的。
        return dp[n - 1];
    }
}

正向贪心

class Solution {
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 初始化步数和当前可以跳到的最远位置
        int steps = 0;
        int maxReach = 0;
        int end = 0;

        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // 跳之前准备一下能到达的最远位置
            maxReach = Math.max(maxReach, i + nums[i]);
            // 当到达当前跳跃的结束位置时，更新步数
            if (i == end) {
                steps++;
                // 每次都跳当前能跳的最远位置。[i,end]是当前所处的位置范围，maxReach是下一步能跳的最远范围。
                // 不确定本次跳到的具体位置，但是一定落在[i,maxReach]里，注意未必跳到 maxReach 是最佳的。i是用来计算下次能跳到的最远位置的。
                end = maxReach;
            }
        }

        // 题目说生成的测试用例一定可以到达 `nums[n - 1]`。
        return steps;
    }
}

固定终点

根据历史数据计算当前数据

倒序遍历索引，正序遍历当前索引能跳的步数，dp[i] 表示从第 i 个索引跳到最后一个索引的最小跳跃次数。

dp[i]依赖于前面多个状态。倒序确定状态。

两层for循环，先确定索引，再确定步数。

class Solution {
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 定义 dp 数组，其中 dp[i] 表示从最后一个索引跳到索引 i 的最小跳跃次数
        int[] dp = new int[n];
        // 初始化 dp 数组，设置为一个很大的值，表示尚未计算。因为要取最小值。
        Arrays.fill(dp, n);
        // 从最后一个索引跳到最后一个索引不需要跳跃
        dp[n - 1] = 0;

        // 从倒数第二个索引开始计算，直到第 0 个索引
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            // 计算从索引 i 能跳到的最远距离
            int maxJump = Math.min(i + nums[i], n - 1);
            // 根据历史数据计算dp[i]的最小值，历史数据的取值范围是[i+1, maxJump]
            for (int j = i + 1; j <= maxJump; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }

        // 返回从最后一个索引跳到索引0的最小跳跃次数
        return dp[0];
    }
}

固定起点，根据历史数据计算当前数据

正序遍历索引，正序遍历当前索引的前面的索引，检查前面哪个索引能跳到当前索引，dp[i] 表示从第 0 个索引跳到第 i 个索引的最小跳跃次数-269ms。

class Solution {
    public int jump(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 初始化 dp 数组，dp[i] 表示从第一个格子跳到索引 i，至少需要 dp[i] 步
        int[] dp = new int[n];
        // 从第一个格子到第一个格子不需要跳跃
        dp[0] = 0;

        // 遍历每一个格子
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i] = n; // 初始化为一个大值，相当于无限大
            // 遍历之前的所有格子，检查是否可以跳到当前格子
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (j + nums[j] >= i) {
                    // 取所有能跳到当前格子的格子中的最小跳跃次数
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }

        // 返回跳到最后一个格子的最小跳跃次数
        return dp[n - 1];
    }
}