51. N 皇后

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

**示例 2： **

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9

回溯

类似解数独问题。

每一行相当于树的每一层，每一行的每一个元素相当于同一层树的节点。每一行只放一个皇后，放完就进入下一行，相当于进入下一层递归。对每一层递归，正序遍历每一列，一个确定的行和列能确定一个位置，对于该位置，先检查该位置是否合规，如果合规，则放置皇后，然后进入下一层递归，否则跳过该列。检查是否合规时只需检查正上、左上和右上，因为下面的位置还没放皇后。解数独问题中的选择空间是1-9，N皇后问题中的选择空间是"Q"和"."，默认是"."。

矩阵的每一个元素都相当于一个选择，即一个树枝，但是这些树枝是按行进行分类的。

为什么不检查左下角，右下角和下方的格子，只检查了左上角，右上角和上方的格子呢？

因为皇后是一行一行从上往下放的，所以左下方，右下方和正下方不用检查（还没放皇后）；因为一行只会放一个皇后，所以同一行不用检查。也就是最后只用检查上面，左上，右上三个方向。

class Solution {
    // 存储所有合法的放置方案
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        // 初始化空棋盘，'.' 表示空，'Q' 表示皇后
        List<String> board = new ArrayList<>();
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sb.append('.'); // 每行初始化为 '....'
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            board.add(sb.toString()); // 每行都是 '....'
        }

        // 开始回溯。递归遍历行，for循环遍历列。
        backtrack(board, 0);
        return res;
    }

    private void backtrack(List<String> board, int row) {
        // 结束条件：如果当前行等于棋盘长度，即越界，说明找到了一个合法的放置方案
        if (row == board.size()) {
            res.add(new ArrayList<>(board)); // 将当前棋盘配置添加到结果列表中
            return;
        }

        int n = board.get(row).length();
        // 遍历每一行的列元素。回溯行，遍历列。
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // 排除不合法选择
            if (!isValid(board, row, col)) {
                continue;
            }

            char[] arr = board.get(row).toCharArray();
            // 下面两行代码是做选择：在 (row, col) 位置放置皇后
            arr[col] = 'Q';
            board.set(row, String.valueOf(arr));
            // 进入下一行决策
            backtrack(board, row + 1);
            // 撤销选择：将 (row, col) 位置的皇后移除。注意，此时不用再获取arr了。
            arr[col] = '.';
            board.set(row, String.valueOf(arr));
        }
    }

    // 是否可以在 board[row][col] 放置皇后？
    private boolean isValid(List<String> board, int row, int col) {
        int n = board.size();

        // 检查之前行的同一列是否有皇后
        for (int i = 0; i <= row; i++) {
            if (board.get(i).charAt(col) == 'Q') {
                return false; // 如果同列上有皇后，返回 false
            }
        }
        // 检查右上斜线上是否有皇后互相冲突
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
            if (board.get(i).charAt(j) == 'Q') {
                return false; // 如果右上方有皇后，返回 false
            }
        }
        // 检查左上斜线上是否有皇后互相冲突
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board.get(i).charAt(j) == 'Q') {
                return false; // 如果左上方有皇后，返回 false
            }
        }

        return true; // 如果上述检查都通过，返回 true
    }
}

• 时间复杂度：$O(n^2\cdot n!)$。搜索树中至多有 $O(n!)$ 个叶子（第一行有n列可选，第二行n-1列……），每个叶子生成答案每次需要 O(n2) 的时间（复制board），所以时间复杂度为 O(n2⋅n!)。实际上搜索树中远没有这么多叶子，n=9 时只有 352 种放置方案，远远小于 9!=362880。更加准确的方案数可以参考 OEIS A000170，为 $O(\frac{n!}{2.54^n})$。
• 空间复杂度：$O(n)$。返回值的空间不计入。