120. 三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

动态规划

自底向上，倒序计算数组。根据历史数据计算当前数据。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[][] dp = new int[n][n];
        
        // 初始化 dp 数组，设置最后一行的值
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[n - 1][i] = triangle.get(n - 1).get(i);
        }
        // 从倒数第二行开始，逐行向上计算最小路径和。dp[i][j]是第(i,j)个位置的元素到最后一行可能位置的最小路径和。
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        // dp[0][0] 保存的是从顶点到底部的最小路径和
        return dp[0][0];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n^2)$，每个位置只计算一次。
• 空间复杂度：$O(n^2)$，用于存储 dp 数组。

滚动更新

dp[j]指的是指定行的第j个元素到最后一行的可能的位置的最小路径和。

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n];
        
        // 获取三角形的最后一行，用于初始化 dp 数组。dp[j]指的是指定行的第j个元素到最后一行的可能的位置的最小路径和。
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = triangle.get(n - 1).get(i);
        }

        // 从倒数第二行开始，逐行向上计算最小路径和
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {// 第i行有i+1个数
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }

        return dp[0];
    }
}

• 时间复杂度：O(n^2)，每个位置只计算一次。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 数组。