70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

动态规划-函数递归+备忘录

爬到第 n 级台阶的方法个数为 dp(n)。

不加备忘录的话，时间复杂度是O(2^n)。

class Solution {
    // 备忘录
    int[] memo;

    public int climbStairs(int n) {
        memo = new int[n + 1];
        return dp(n);
    }

    // 定义：爬到第 n 级台阶的方法个数为 dp(n)
    int dp(int n) {
        // base case，结束或成功条件
        if (n <= 2) {
            return n;
        }
        if (memo[n] > 0) {
            return memo[n];
        }
        // 状态转移方程：
        // 爬到第 n 级台阶的方法个数等于爬到 n - 1 的方法个数和爬到 n - 2 的方法个数之和。
        memo[n] = dp(n - 1) + dp(n - 2);
        return memo[n];
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，因为我们只计算了每个子问题一次。
• 空间复杂度：O(n)，因为我们使用了一个大小为 n+1 的数组来存储子问题的结果。

动态规划-数组迭代

dp[i]表示从起点爬到第i阶需要的方法数。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 重点。可以想象一个闭区间[0,n]，从0到n的方法数是dp[n]，dp[0]就是从0到0的方法数，只有一种，就是不爬。
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)。

递推，空间压缩

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 1;  // 对于 n = 0 或 n = 1，只有一种走法
        }

        // 初始化前两个状态
        int prev1 = 1;  // dp[i-1]
        int prev2 = 1;  // dp[i-2]

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int curr = prev1 + prev2;  // 当前状态
            prev2 = prev1;  // 更新 dp[i-2] 为 dp[i-1]
            prev1 = curr;   // 更新 dp[i-1] 为当前状态
        }

        return prev1;  // 返回最终结果。
    }
}

时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)。